domingo, 17 de enero de 2010

Ejercicio 21

Un fabricante de ejes traseros para camiones surte estos ejes a una empresa de mensajería y para ello es necesario que estas refacciones puedan soportar 80,000 kg por centímetro cuadrado en las pruebas de esfuerzo.

Si los ejes fueran demasiado fuertes su costo de producción se elevaría significativamente, sin embargo si están por debajo de el peso antes señalado correrían el riesgo de no soportar la carga de compañía de mensajería.

Se sabe por experiencia la desviación estándar es de 400 kg por centímetro cuadrado. El fabricante selecciona una muestra de 100 ejes de la última serie de producción sometiendolo a pruebas y el resultado obtenido fué que la capacidad media de resistencia fue de 79,600 kg por centímetro cuadrado.

El nivel de significancia de la prueba fue de .05

Determinar si los ejes cumplen con la capacidad de carga requerida por la empresa de mensajería:

MH = 80,000 KM / cm 2
O = 4,000 KM / cm 2
n = 100
= .05
/x = 79,600
O /x = 400



Ho : M = 80,000
Hi : M /= 80,000
Trabajando a : 1.96 O/X errores estándar

Ho : M = 80,000 +- 1.96 (400) = 784

Conclusión: Estadísticamente los ejes que se producen cumplen tanto con las necesidades del cliente como con el costo de producción de la compañía que los fabrica por lo tanto podemos decir que no existen elementos para rechazar la hipótesis nula.

Pruebas De Hipotesis

Pruebas de hipotesis con 1 y 2 estremos : Una prueba de hipotesis con 2 extremos (colas) rechazara la hipotesis nula si la media muestral es significativamente mas alta o mas baja que la supuesta media de la población por lo tanto en una prueba de 2 extremos existen 2 regiones de rechazo, esta prueba de 2 extremos es idonea cuando la hipotesis nula utiliza el signo igual y la hipotesis alternativa el signo del diferente.

Sin embargo en situaciones en donde el resultado que nos pueda dar la hipotesis alternativa sera la que nos determine el tipo de extremo a utilizar y por lo tanto el uso de una prueba o un extremo o cola.

Error Tipo 1 Y 2

El rechazar una hipotesis nula que sea verdadera recibe el nombre de error tipo 1, se le denomina con la letra alfa y en la mayoria de las ocaciones a este simbolo y a este error se le denomina el nivel de significancia.

Por el contrario aceptar una hipotesis nula que sea falsa se le denomina error tipo 2 y la letra griega "beta" es el simbolo que asocia a este tipo de error.

Este espacio por la prueba de hipotesis es establecer o determinar el tipo de distribucion que se va a emplear para lo cual usualmente para una prueba de hipotesis normal se pueden utilizar ya sea la distribución normal o la distribución t-student

La distribución normal esta asociada con el área de aceptación o de lo que se considera como el área de aceptación, pero tiene reglas de uso entre ellas que se utiliza para muestras mayores a 30 y se conoce la desviación estandar poblacional por su parte la distribución t-student se utiliza para muestras menores a 30 y en la que se desconoce la desviación estandar poblacional. Al contrario de la distribución n ormal, la distribución t-student trabaja con el nivel de significancia asociado a las áreas de rechazo.

Nivel De Significancia

La finalidad de la prueba de hipotesis no es poner en tela de juicio el valor del estadistico muestral si no de emitir un juicio sobre la diferencia existente entre dicho valor calculado y el supuesto parametro de la poblacion, es aqui donde el nivel de significancia juega un valo preponderante ya que despues de determinar ambas hipotesis; es decidir el criterio sobre el cual se aceptara o rechazara la hipotesis nula, los niveles de significancia que seguramente se utilizan van desde un 89 % hasta un 99.9 %, sin embargo se puede manejar el rango segun las necesidades de cada situación.

Generalmente estos niveles de significancia tienen como función determinar el error estandar con el que se trabajara.

Solo recuerde que cuando mas alto sea el nivel de significancia utilizado se corre el riesgo de rechazar una hipotesis nula que sea verdadera y generalmente los niveles de significancia estan asociados a lo que en la prueba de hipotesis se le conoce como:

* ERROR DE TIPO 1 Y 2

Conceptos Básicos

Hipótesis Nula / Alternativa : Es el nombre que recibe el supuesto que deseamos comprobar y va de la mano con la hipótesis alternativa ya que esta representara lo contrario a nuestro supuesto, se representa con los siguientes símbolos:

Ho = Hipótesis Nula
Hi = Hipótesis Alternativa

Ejemplo de una hipótesis nula, alternativa :

Ho : M = 500
Hi : M =/ 500

Dependiendo lo que queramos comprobar sera la hipótesis alternativa que establezcamos

Prueba De Hipotesis

Comienza con una suposición llamada hipótesis que hacemos en torno a un parámetro de la población posteriormente se recaban los datos muestrales elaborándose la estadistica necesaria cuya información servirá para decidir la probabilidad que el parámetro supuesto de la población sea correcto.

Para verificar la validez de una suposición es necesario determinar la diferencia entre el valor supuesto y el valor real de la media muestral para posteriormente juzgar esa diferencia y determinar si resulta significativa para aceptar a rechazar la hipótesis.

Desafortunadamente suele existir en la mayoría de las ocaciones una diferencia entre el parámetro supuesto y el verdadero estadístico de la muestra, lo que debemos considerar entonces es que dicha diferencia no sea tan grande, ni tan pequeño como para rechazar o aceptar en automático.

Es por ello que siempre estableceremos un nivel de confiabilidad que nos permitirá delimitar los parámetros de aceptación o de rechazo de una hipótesis.

martes, 12 de enero de 2010

Estimación Por Intervalo

Estimación por intervalo e intervalo de conciencia: Al utilizar la estimación por intervalo existe una limitante de hasta tres errores positivos y negativos tomando en cuenta que el área ( 90 % ) bajo la curva comprende 1.64 errores positivos y negativos incluyen aproximadamente el 99 % de nuestra población es decir el 49.51 % a cada lado de la media.

En estadística la probabilidad de asociar a una estimación de intervalo se le llama nivel de confianza, es decir la confianza que de tenga de que dicha estimación por intervalo comprenda el parámetro de la población, esta estimación se manejan regularmente como los mas utilizados: el 90 % y 95 % ; sin embargo se puede manejar cualquier otro siendo el 95.5 % el mas utilizado.

El intervalo de confianza es el de la estimación del problema que se este manejando, sin embargo la manera para expresarlo es la siguiente:

HO: M= 20 AÑOS
NIVEL DE CONFIANZA 90 %
/X +- 1.64 O /X

Ejercicio 20

El director necesita una estimación de las baterias para autos fabricadas en su compañía, se selecciono una muestra aleatoria de 200 baterias registrando los nombres de los dueños, así como sus datos personales para poder darles seguimiento a dicha muestra para posteriormente entrevistarlo respecto a la vida útil de sus baterias. La muestra tiene una vida media de 36 meses, si este dato se tomara bajo la estimación puntual de la media de la muestra como el mejor estimador de la media poblacional se afirmaría entonces que el promedio de la vida útil de dichas baterías es de 36 meses, sin embargo el director a solicitado una afirmación sobre la incertidumbre que seguramente acompaña a dicha información, es decir determinar el intervalo en el que se haya la media poblacional para lo cual es necesario conocer el error estándar de la media.

Al seleccionar y graficar un elevado error de medias muestrales de una poblacional la distribución de estas se aproximara a la distribución normal y la media que las medias muestrales sera igual a la media poblacional.

Así pues en este caso especifico 200 muestras es un tamaño considerable para poder ocupar el teorema de limite central y en este caso especifico la desviación estándar de la poblacional de las baterias en 10 meses; por lo tanto es posible calcular el error estándar utilizando nuestra formula:

O /X = O / la raíz cuadrada de n

Ya tenemos la formula...

O = 10 MESES
n = 200

O /X = 10/ la raíz cuadrada de 200 = 10 / 14.14 = .7072 meses

Probabilidad de que el verdadero parámetro de la población caiga dentro de la estimación por intervalo. Sea trabajando con la distribución normal de probabilidad y se aprendió que unas partes especificas del área bajo la curva están situadas entre cualquier número positivo o negativo de desviaciones estándar respecto de las medias. Pudiéndose aplicar esta propiedad del error estándar de la media para afirmar sobre la gama de valores en una estimación por intervalo que un porcentaje determinado de una muestra se encontrara a una cantidad determinada de errores estándar.

En el caso de las baterías se podría afirmar que el 68.26 % de la muestra se encuentra a un error estándar respecto a la media.



Recordando que al trabajar en 2 errores estándar positivos y negativos respecto de la media se comprende al 95.5 % de una población

domingo, 10 de enero de 2010

Muestreo De Poblaciones

Cuando la distribución esta distribuida normalmente las distribuciones muestrales de la media tambien son normales. Sin embargo es mas comun poder trabajar con poblaciones no normales, es decir que tampoco tienen una distribución normal, la pregunta es ¿Cómo funciona dicha distribución normal de la media cuando no es normal la población de donde es extraida la muestra.

Ejemplo: A continuación se presenta una tabla relacionada a la experiencia obtenida por los dueños de motocicleta respecto a la vida de sus neumaticos en un tiempo de 5 años.


DUEÑO: 5 DUEÑOS

CARLOS
DELI
ELIZABETH
FRANCISCO
GONZALO

VIDA DE LAS LLANTAS (MESES): 36 MESES

CARLOS---3
DELIA---3
ELIZABETH---7
FRANCISCO---9
GONZALO---14

Ejercicio 19

EVELYN 24
AMERICA 22
CARLOS 19
LEONEL 19
ANA KAREN 19
ANA KAREN 2 20
ACOSTA 22
SARAI 19
CARLOS ALBERTO 19

/X = 20.3
S = 1.87



*MUESTRA 9-1 = 8
28.01 / 8

*VARIANZA 3.50125

*DESVIACIÓN ESTANDAR raiz cuadrada de 3.50125
= 1.87

Ejercico 18

Un banco calcula que sus cuentas individuales de ahorro tienen una distribución normal con una media de $ 2,000 y con una desviación estandar de $ 600 ; si el banco toma una muestra aleatoria de 100 cuentas cual es la probabilidad de que la media se haye entre $ 1,900 y $ 2050.

Esta pregunta es relativa a la distribución muestral de la media, por tal motivo se debe calcular el error estandar de la media.

M=2,000
n=100
O=600
Ox=60




Para terminar de resolver este problema y dado que estamos utilizando una distribución dela población normal utilizaremos que Z= X - N / O; podemos sustituir estos valores por los que se nos proporcionarón por el problema bajo las siguientes modificaciones de Z.

Z= 1,900 - 2,000 / 60
Z= -100 / 60
Z= -1.666

Z= 2,050 - 2,000 / 60
Z= 50 / 60
Z= .83

Desviación Estandar

La expresión desviación estándar se utiliza para transmitir un significado especifico.

Un ejemplo serviría para explicar la causa del nombre, supongamos que queremos conocer sobre la talla de los alumnos de primer grado de cualquier universidad estatal, para lo cual se extraen una serie de muestras calculandose la talla promedio de c/u de estas muestras. Es poco probable que el resultado de c/u de ellas sean iguales; cabe esperar una variabilidad en los medios observados, dicha probabilidad en el estadístico muestral resulta del error mostrado debido al azar existen diferencias entre cada muestra y cada población lo mismo entre varias muestras cuya unidad información sera el método de selección utilizado.

La desviación estándar de la distribución de las medias muestrales mide el grado en que esperamos que las medias de las diferentes muestras varíen por este error accidental en el proceso de muestreo. Por consiguiente la desviación estándar de la distribución en un error estándar estadístico.

El error estándar indica no solo el tamaño del error accidental que se ha cometido si no además la exactitud que seguramente se alcanzara si se usa un estadístico muestral para estimar un parámetro de la población, su fórmula es:

O /X = O / raíz cuadrada de N

Muestreo Aleatorio

Se divide en 4: ALEATORIO SIMPLE, SISTEMATICO, ESTRATIFICADO Y CONGLOMERADO.

"MUESTREO ALEATORIO SIMPLE": Se seleccionan las muestras mediante métodos que permiten a cada muestra posible tener igualdad de probabilidad de ser seleccionada y a cada elemento de la población la misma probabilidad de quedar incluido en la muestra.

Existen 2 elementos importantes de aclarar el de población finita entendiéndose por esta a una población que por su número de integrantes posee un tamaño limitado y el de población infinita.

-POBLACIÓN INFINITA-

Que se divide que teóricamente es imposible de observar a todos sus elementos (ya que no existe ninguna población que realmente sea infinita)

"MUESTREO SISTEMATICO": Este tipo de muestreo los elementos de la población que conforman la muestra a través de un intervalo, el cual puede ser de tiempo, de orden o de espacio. Difiere del aleatorio simple en que si bien cada elemento de la población tiene igual probabilidad de ser seleccionado la muestra no tiene esa misma probabilidad, con el muestreo sistematico se corre el mismo riesgo de que la muestra no pueda ser representativa puesto que dependiendo del método a utilizar esta pueda contar con sesgo. Sin embargo entre sus ventajas se puede contar que aun cuando no sea apropiado si los elementos presentan un patrón secuencial, disminuye los costos, tiempo, esfuerzo y dinero.

"MUESTREO ESTRATIFICADO": Divide a la población en grupos homogeneos relativos, llamados estratos. Posteriormente se recurre a alguno de los métodos anteriores para seleccionar a los elementos que integran la muestra, este método como los anteriores garantiza que cualquiera de los anteriores quede integrado en la muestra y es adecuado cuando la población se encuentra dividida en grupos de diferentes tamaños y se requiere reconocer dicho hecho.

Su mayor ventaja es que refleja lo mas exactamente posible las características de donde se extrajerón las muestras.

"MUESTREO CONGLOMERADO": Se divide a la población en grupos conglomerados para posteriormente sacar una muestra de ellos para entender mejor este concepto lo ejemplificaremos utilizando una empresa de investigación de mercados, la cual tiene por consigna determinar a través de un muestreo el número de promedio por familia en una gran ciudad. Esta estuvo un mapa de la ciudad y la dividió en manzanas y posteriormente elijio a un número de manzanas (conglomerado para realizar sus entrevistas) en ellas serán entrevistadas cada familia que habita en el conglomerado.

Este procedimiento puede producir una muestra mas precisa a un bajo costo que si hubiera utilizado en el método aleatorio simple.

Como puede observarse tanto en el muestreo estratificado como en el conglomerado la población es dividida en grupos bien definidos, sin embargo el muestreo estratificado se utiliza cuando las diferencias del grupo o grupos que se pretenden estudiar son pequeñas pero existe una amplia variación entre sus grupos. Se utiliza cuando los integrantes de cada grupo existe una amplia diferencia pero una gran similitud entre grupos.

Muestreo (Continúa)

En estadistica utilizamos la palabra población para designar a todos los elemnetos que se ha decidido estudiar y no solo a personas. A su vez la palabra muestra describe una porción elejida de la población.

"ESTADISTICOS Y PARAMETROS" : Se le llaman a los términos que describen las caracteristicas de una muestra y parametros cuando lo que se describe son las caracteristicas de la población.

"TIPOS DE MUESTREO"

Existen 2 tipos:

1) NO ALEATORIO O DE JUICIO
2) ALEATORIO Y PROBABILISTICO

Este último todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de figurar en la muestra en el caso del de juicio se usa el conocimiento y opinión personal de quien determina la muestra para seleccionar e identificar los elementos de la población que integraran la muestra. Este tipo de muestreo de juicio sirve en muchas ocaciones de muestra piloto para posteriormente seleccionar una muestra aleatoria. Si bien ahorra tiempo este tipo de muestreo es adecueado y de buenos resultados solo en el caso de no requerir justificación para su validez y es un buen ejemplo de lo que denominamos muestra sesgada; es decir una muestra sesgada es aquella que presenta una tendencia visible en su resultado, por ejemplo si yo realizara una muestra para determinar las preferencias politicas y me enfocara a los militantes de un solo partido, cuyo resultado seria favorable hacia el partido, al cual pertenecen y con ello concluyera que la población entera en un amplio porcentaje favorece al partido "x" este resultado presenta un sesgo puesto que mi muestra solo se enfoco a los militantes de ese partido.

Ejercicio 17

¿Cúal es la probabilidad de un candidato aleatoriamente tarde mas de 700 horas de terminar el programa?

Z= .7

Muestreo

"POBLACIÓN O UNIVERSO"

TECNICAS:

Muestreo estadistico: todos los individuos misma posibilidad
Muestreo probabilistico:
Estratificado: división previa
Sistemático: control de calidad en una fabrica, sistematizado por tiempo y espacio
Conglomerado: hombres y mujeres
Erratico: se acomoda según su juicio de la persona que realize el muestreo

TAMAÑO:

n=muestra
N=población
U=media poblacional
d=margen de error
02=varianza poblacional

MUESTRA:

Fórmula
Tamaño
Muestra

=

n= [O Z1 - q/z] / Z


**EJEMPLO:

O = O.5 kg
d = 0.1

n = [(o.5)(196) / 0.1 = 96.4 = 97

**EJEMPLO 2:

N = 1176
Se = 0.015

O2 = Se2
Se = (0.015)2 = 0.000225
O2 = 0.000225
S2 = p (1-p) = 0.9 (1-0.9) = 0.09
S2 = 0.09

Se = error estandar
Nivel de confiabilidad = 90% = 0.9

Ejercicio 16

¿Cúal es la probabilidad de que un participante elejido de manera aleatoria tarde mas de 500 horas en terminar un programa?

viernes, 8 de enero de 2010

Fórmula Par Medir

"Fórmula para medir la distancia bajo la curva normal" : El área bajo la curva normal entre la media y cualquier valor de la variable aleatoria con distribución normal se encuentran dentro de una tabla ya elaborada y se denomina como valor de Z, este valor a su vez se deriva de la siguiente formula:

Z= X-M / O

Distribución Binomial

Una compañia de transmiciones electronicos registro el número de servicios registrados de sus últimas tiendas:

808,446,335,229,641,342,459,347,628,545,727,309,731,909,848,575,641,568,649,757

*ACOMODO DE DATOS

229
309
335
342
347
446
459
545
568
575
628
641
641
649
727
731
757
808
848
909



*MEDIA=574.7
*MODA=641
*MEDIANA=601.5
*MUESTRA=20-1 = 19
=726006.2/19
*S2=38210.85
*S=195.47










Uso Esperado

"Uso esperado en la toma de desiciones" : En la sección anterior se calculó un valor esperado de una variable aleatoria, es importante señalar que dicho valor es significativo para las personas que se encargan de tomar desiciones, sobre todo para calcular las perdidas y ganancias cuando dicha variable suceda y es un elemento a considerar en situaciones de incertidumbre.

"Combinaciones de la probabilidad con valores monetarios" : Para entender este concepto observemos el caso de un mayorista que se dedica a vender fresas, este producto es decir las fresas si no se venden el mismo dia pierde su valor.

Una caja de fresas cuesta 20 pesos y el mayorista recibe 50, el mayorista no puede especificar el número de cajas que los clientes adquieran en 1 dia, sin embargo se dio a la tarea de observar el registro contable de los 100 dias anteriores dicho analisis.

"VENTAS DURANTE 100 DIAS"



Vamos a calcular el tipo de perdida que el mayorista puede obtener bajo las siguientes condiciones:

1)Perdida obtenida por almacenar demaciada fruta y tener descajarse al dia siguiente
2)Perdida por desaprovechar la oportunidad, es decir cuando el mayorista se queda sin fresas y el cliente le pide mas.

Ejercicio 15

Realizar una tabla basandose en una distribución de frecuencia, dibujar su gráfica de distribución asi como su valor esperado: 102,105,108,111,114,117, frecuencia en que sucedierón: 10,20,45,15,20,15.

Valor Esperado (V.A.)

El valor esperado de una variable aleatoria discreta no es mas que el resultado de la multiplicación de cada valor que esta pueda asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor mas la suma de todos los productos.

Por ejemplo: Si utilizamos la tabla anterior relacionada con el número de mujeres examinadas, la forma de obtener nuestro valor esperado de una variable aleatoria y (número examinado diariamente) seria como sigue:




Variables Aleatorias

Es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de un experimento y los resultados de este, las variables tambien se dividen en discretas y continuas.

Una variable aleatoria discreta es aquella que adopta un número limitado de valores, por el contrario una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar un valor cualquiera dentro de determinados limites.

A continuación observaremos una tabla en la cual vamos a encontrar una distribución de frecuencia y posteriormente dicha frecuencia la convertiremos en una distribución de probabilidad.

"ESTUDIO A MUJERES EN UNA CLINICA (EXAMINADAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIAS"




Tipos De Distribuciones

Se clasifican en: DISCRETAS Y CONTINUAS

Se permite que una probabilidad discreta asuma únicamente un número limitado de valores, por ejemplo: en el caso del candidato los valores asumidos solo tienen 4 posibilidades 1,000,2,000,3,000,4,000. Otro ejemplo podria ser la probabilidad de que cualquiera de los presentes en este salón de clases naciera en un mes determinado puesto que solo hay 12 posibilidades, es decir los 12 meses del año.

Las distribuciones continuas de probabilidad, las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de un limite determinado, por ejemplo si se estuviera midiendo un determinado caudal de un río y se quiere conocer las particulas por millón existentes en diferentes secciones que habria que esperar un intervalo de particulas por millón desde los niveles mas bajos, en la cima de la montaña hasta los niveles mas altos de dicho caudal en la parte baja puesto que conforme el río va avanzando la contaminación de este se va incrementando por lo tanto podemos encontrar un enorme número de valores de lo que estamos midiendo.

Distribución (Continúa)

Es necesario considerar que una distribución de frecuencia es un listado de las frecuencias observadas de todos los resultados de un experimento que en realidad se ha presentado cuando se ha llevado acabo dicho experimento, por otro lado cuando se ha presentado una exposición de probabilidad.

Las distribuciones de probabilidad pueden basarse en consideraciones de caracter téorico como en el caso de la moneda, o bien en una valoración subjetiva de la probabilidad de ciertos resultados como en el caso de la estimación hecha por el candidato.

Cabe señalar que las probabilidades también pueden estar basadas en la experiencia como es el caso de los actuarios quienes en las compañias de seguros determinan el monto de las primas de estos valiendose de sus años de experiencias con los indices de mortalidad a fin de establecer las probabilidades de fallecimiento entre los diversos grupos de edades.

Ejercicio 14

Un candidato politico el cual compite para un puesto politico y esta considerando cuantos votos puede obtener para ganar la próxima elección , siendo la evaluación realizada por el candidato.

NÚMERO DE VOTOS 1,000...2,000...3,000...4,000
PROBABILIDAD DE QUE OCURRA .1---.3---.4---.2

Ejercicio 13

$ 100 = 100 animales

$.50 guagolote
$3.00 cerdo
$10.00 vaca

? Animales c/especie tengo que comprar

100 animales con $100

Distribución

Las distribuciones de probabilidad guarda distribución con la frecuencia, se puede consevir una distribución de probabilidad, una distribución téorica de frecuencia; una distribución téorica de frecuencia es una distribución de probabilidad que describe como se espera que varien los resultados.

Dado que estas clases de distribuciones se ocupan de las espectativas, son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar desiciones en condiciones de incertidumbre.

Ejemplos de distribuciones de probabilidad:

Retomando el ejemplo de la moneda a continuación observaremos una tabla que nos muestra los resultados posibles de este experimento en 2 lanzamientos consecutivos.

Ejercicio 12

El director de mercadotecnia de una compañia cinematografica piensa que la próxima producción del estudio cinematografico TNT tiene el 60% de probabilidades de ser un gran éxito, el 25% de ser un éxito moderado y el 15% de ser un fracaso. Para probar la exactitud de su opinión a programado 2 proyecciones privadas despúes de cada una los asistentes califican del 1 al 10. Su larga experiencia en la industria cinematografica le ha enseñado que una pelicula de mucho éxito recibira una calificación de 7 o mas en un 60% de las ocaciones una calificación de 4 a 6 el 30% de las ocaciones y que recibira una calificación de 3 o menos en el 10% de la ocaciones una pelicula.

GRAN ÉXITO 60%, 7+ 60%, 4-6 30%, 3- 10%
ÉXITO MODERADO 25%, 7+ 30%, 4-6 45%, 3- 25%
FRACASO 15% 7+ 15%, 4-6 35%, 3- 50%

A) Si la primera puntuación o proyección privada produce una puntuación de 6, ¿Cúal es la probabilidad de que sea un fracaso?

B) ¿Cúal es la probabilidad de que sea un éxito?

C) En la primera produccón proyección fué de 6, sin embargo en la segunda la puntuación fue de 2 ¿Cúal es la probabilidad de que la pelicula sea un fracaso, suponiendo que los resultados de la proyección privada sean independientes?

SOLUCIÓN:

GRAN ÉXITO (30)(60)= 1800/3450= 0.52
ÉXITO MODERADO (45)(25)= 1125/3450= 0.32
FRACASO (35)(15)= 525/3450= 0.15
= 3450

(10)(60)= 600 (30)= 1800/72375= 0.10
(25)(25)= 625 (45)= 28125/72375= 0.38
(50)(15)= 750 (35)= 26250/72375= 0.36
=72375

Probabilidad Resultados C.

Probabilidad de resultados congruentes: Hata este instante todos los ejemplos de probabilidad que hemos observado el comportamiento de los ejercicios. En el experimento del dado el as salió 2 veces consecutivo, el de la máquina lanzadora arrojó 2 strikes seguidos en los primeros 2 lanzamientos.

Pero en realidad la distribución de los resultados suele ser menos congruente. Por ejemplo en el caso de la máquina lanzadora automatica de pitcheo, se puede encontrar que en 5 lanzamientos los resultados sean: STRIKE, BOLA MALA, STRIKE, STRIKE, STRIKE, la situación aqui entonces seria calcular la probabilidad de que la máquina se encuentre bien instalada, observando dichos resultados para lo cual utilizaremos S = strikes y B = bola mala.

*CORRECTA .75, STRIKE .85, BOLA MALA .15, SBSSS .85*.15*.85*.85*.85
*INCORRECTA .25, STRIKE .35, BOLA MALA .65, SBSSS .35*.65*.35*.35*.35

C= .0783/(.75)
I= .0097/(.25)
= .0880

C= .0783/.0880 = .8897
I= .0097/.0880 = .1102

C= 0.05872/0.61145
= CORRECTO: 0.96034

I= 2.425/0.061145
= INCORRECTO: 39.654

Probabilidades Posteriores

Probabilidades posteriores con mayor información: Se puede pensar que no basta de un lanzamiento para conocer sus características como es el caso del dado cargado; en tal caso se puede conseguir mayor información lanzando nuevamente el dado. Supongamos que el mismo dado lanzado salió un as de nuevo, por lo tanto la probabilidad de que vuelva a ocurrir dicho evento variara en proporción a la cantidad de veces que este ocurrió.

Por lo tanto la probabilidad conjunta para que un evento se repita para este caso es particular es de .325, ahora bien para calcular la probabilidad de que sea el primer dado; la probabilidad que tiene el as en el primer dado sera igual a la probabilidad marginal conjunta del primero entre la suma de la probabilidad de ambos eventos es decir:

EJEMPLO DE PROBABILIDAD POSTERIOR BASADA EN 3 ENSAYOS:

Un equipo de ligas pequeñas de béisbol a estado utilizando una maquinaria pequeña de pitcheo (automática), si la máquina es bien instalada es decir que esta ajustada automaticamente lanzara strikes el 85 % de las ocaciones; si la maquinaria no esta bien ajustada su porcentaje disminuye al 35 %; la experiencia a demostrado que solo el 75 % de las ocaciones la máquina es instalada automaticamente. Una vez que se instala la máquina para la practica de bateo de un día lanza 3 strikes en los primeros 3 lanzamientos.

¿Cúal es entonces la probabilidad de que la instalación este bien realizada?

*CORRECTA .75, STRIKES .5, 3 STRIKES (.614)(.75) = .4605
*INCORRECTA .25, STRIKES .35, 3 STRIKES (.042) (.25) = .0105

.4605 + .0105 = .4710

* .4605/.4710 = .977
* .0105/.4710 = .022

A este tipo de probabilidad se le llama PROBABILIDAD POSTERIOR en este caso de que la máquina este bien instalada y con ello aumentamos la probabilidad original de instalación del 75% al 97%.

Ejercicio 11

Al saber que el tazón tiene 2 dados (instintivamente) sabremos que cada uno tiene la misma probabilidad de ser extraido es decir (.05), sin embargo para contestar con mayor asistividad es necesario multiplicar la probabilidad de estos dados por la resultante en que salio cada uno de ellos

EVENTO

TIPO 1: .5 * .4 = .20 ---probabilidad 1
TIPO 2: .5 * .7 = .35 ---probabilidad 2

RESULTADO= .55 ---probabilidad de ambas

Probabilidad Independecia

Cuando se presentan 2 ejemplos, el resultado del primero puede no influir o bien puede hacerlo en el segundo evento, es decir pueden ser dependientes/independientes dichos eventos.

Se dice que estadisticamente 2 eventos cuando la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad de que suceda otro evento cualquiera, existiendo tres tipos de probabilidad en condiciones de independencia estadistica:

*P. MARGINAL
*P. CONJUNTA
*P. CONDICIONAL

Probabilidades marginales en condiciones de independencia estadistica.

*PROBABILIDAD MARGINAL INCONDICIONAL: Es simplemente la probabilidad de que exista o suceda un evento.

*PROBABILIDAD CONJUNTA EN CONDICION DE INDEPENDENCIA ESTADISTICA: La probabilidad de que 2 o mas eventos independientes ocurran al mismo tiempo o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales.

EXPRESAMOS: P (AB) = P(A) * P(B)

Quiere decir: Que entonces la probabilidad de que eventos A y B ocurran juntos o en sucesión resive el nombre de "PROBABILIDAD CONJUNTA".

Y según el ejemplo de la moneda, la probabilidad de que en 2 lanzamientos sucesivos salga el evento SOL es igual al producto de dicha probabilidad en cada evento.

P (Hi * H2) = P (.5) * (.5)
P (H1 H2) = .25

Dicha probabilidad se puede explicar gráficamente a traves del uso de un árbol de probabilidad:



*PROBABILIDAD CONDICIONALES EN CONDICIONES DE INDEPENDENCIA ESTADISTICA: La probabilidad condicional simbolicamente expresa de la siguiente manera:

P (B / A) = P (B)

La probabilidad de B, si ocurre el vento A es decir, la probabilidad condicional esta sujeta a que ocurra un segundo evento, si el primero a tenido lugar. Por lo tanto la probabilidad condicional del evento B si ocurrió; el evento A es simplemente la probabilidad de B.

Aparentemente puede resultar contradictorio ya que es por definición los eventos independientes son aquellos cuya probabilidad no se afecta en absoluto por la ocurrencia de uno de ellos.

Continuando con nuestro ejemplo de la moneda, la pregunta pudiera se cual es la probabilidad de que el segundo lanzamiento de una moneda legal produzca el lado A si este ya salio en el primer lanzamiento.

P (H2 / H1) = H2
P (H2 / H1) = .5

*PROBABILIDAD EN CONDICIONES DE INDEPENDENCIA ESTADISTICA: La dependencia estadistica existe cuando la probabilidad de un evento depende de la ocurrencia de otro o este último influye en la probabilidad.

Al igual que en la independencia estadistica la probabilidad de condiciones de dependencia estadistica son tres:

*CONDICIONALES
*CONJUNTAS
*MARGINALES

*PROBABILIDADES CONDICIONALES EN CONDICIONES DE ESTADISTICA: Las probabilidades condicionales y las conjuntas en condiciones de dependencia estadistica son de mayor complejidad que las marginales, es por ello que es necesario tocar en primera instancia las condicionales.

Para poder entender: Vamos a suponer que en una caja existen 10 bolas con las siguientes caracteristicas.

*3 son de colores/punteadas
*1 de color/rayas
*2 son grises/punteadas
*4 son grises/rayas

La probabilidad de cada una de estas bolas salga, es exactamente la misma de (.1); supongamos que alguien saca una bola de colores, ¿Cúal es la probabilidad de que esta pelota de colores sea punteada o bien que tenga rayas?

jueves, 7 de enero de 2010

Ejercicio 10

Para conocer la producción de los eventos que no ocurririan lo que se hace es restarle a 1 la proporción de los eventos factibles por ocurrir, es decir si quiero saber si el evento A no ocurriria, le restamos la producción que tiene en su contra.

2/20 = .10
1-100
20/20 = 1-.10 = .90

"REGLA PARA ADICION PARA EVENTOS QUE SON NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES"

La probabilidad de que A o B sucedan es igual a la probabilidad de A+B-P(AB)

P(A o B)= P(A)+P(B)-P(AB)

Ejercicio 9

A continuación se enumeran la proporción que existe de familias en el municipio de ixtapaluca con: 0,1,2,3,4,5,6 o mas hijos por familia, la proporción de 5 es igual a (0.5), la proporción de 1 es (.10), la de 2 es (.30), la proporción de 3 es de (.25) , la proporción de 4 es de (.15), la proporción de 5 es de (.10) y la proporción o mas de 6 es de (0.25)

El dif quiere conocer cual es la probabilidad de un estudio que elaborado, una de las familias escojidas se encuentra entre el rango 4 y mas hijos.

4= .15
5= .10
6= .05

p(4)+p(5)+p(6)= .15+ .10+ .05= 03

Ejercicio 8

5 Estudiantes con caracteristicas similares estan preparando una entrevista de trabajo para el verano para lo cual se presentarón su solicitud, curiosamente solo 2 de ellos seran contratados, los candidatos fuerón:

AMERICA,IRIS,ANA LUISA,BETY,TERESA

¿Cúal es la probabilidad de que AMERICA E IRIS sean las elejidas?


** R= 1/5 = 0.2

IRIS = 1/5 = 2
TERESA = 1/5 = 5

= 2/5
= .4

Reglas Probabilidad

La mayor parte de la gente que utiliza las probabilidades tienen interes en 2 situaciones en particular:

1) El caso en que ocurra 1 u otro evento
2) La situación donde ocurran 2 o mas eventos

Ejemplo: Cuando nos preguntamos cual es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestra capacidad y en el segundo punto, cuando preguntamos cual es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestra capacidad un 10%

"SIMBOLOS, DEFINICIONES, REGLAS DE USO COMUN"

*SIMBOLO DE UNA PROBABILIDAD MARGINAL: Basicamente los simbolos se han utilizado para expresar de forma simplificada la representación de ideas a si pues la probabilidad de que un evento A suceda se expresa de la siguiente manera:

P (A)

P= PROBABILIDAD
A= Representa al evento que se espera ocurra

Una probabilidad individual significa que solo puede tener lugar 1 evento a esto se le denomina PROBABILIDAD MARGINAL O INCONDICIONAL.

**EJEMPLO: El grupo de estadistica 2301 su maestra de desarrollo sustentable llego con una par de boletos para un concierto de Madonna y ha decidido rifarlos en el grupo, el grupo esta compuesto por 37 elementos...

¿Cúal es la probabilidad de que gane un boleto un alumno?

1/37= 0.02

Ya que estamos completamente seguros de que uno de ellos ganara y por lo tanto tambien decimos que los eventos son mutuamente excluyentes.

Para ilustrar los ejemplos de probabilidad se pueden recurrir a los diagramas de Venn en donde el espacio muestral se representa por un rectángulo y los eventos dependiendo el número se puede representar a traves de ovalos o bien cuadriculando el área del rectángulo en la cantidad de eventos posibles.










Probabilidad Subjetiva

Se basan en la creencias e ideas en que se realiza la evaluación de las probabilidades y se define como en aquella que un evento asigna el individuo basandose en la evidencia disponible (el individuo asigna la probabilidad en base a su experiencia).

La probabilidad subjetiva puede tener forma de frecuencia relativa de ocurrencia anterior o simplemente puede consistir en una conjetura inteligente N.

Para clarificar lo antes dicho un ejemplo muy común es el pronostico del tiempo, muchos individuos como nosotros realizamos una predicción personal de como seran las condiciones climaticas para el dia, basadas mas en nuestra experiencia personal pero que muchas veces sustentamos en experiencia de eventos pasados.

La asiganación de probabilidad subjetiva se dan generalmente cuando los eventos ocurren solo 1 vez y a lo máximo unas cuantas veces mas.

Sin embargo en las organizaciones a pesar de que es comun tomar desiciones en base a la probabilidad subjetiva la mayoria de las veces esta se respalda con datos futuros estadisticos.

F. Relativa Ocurrencia

*¿Cúal es la probabilidad de que llegemos a los 85 años de edad?

*¿Qué probabilidad hay de romper una bocina de un stereo si ponemos el volúmen a 200 watts?

*¿Cúal es la probabilidad de que al construir una nueva fabrica de papel a las orillas del río mas próximo de nuestra ciudad mueran muchos peces?


Lo mas probable es que no podamos determinar la probabilidad de dichos eventos sin haber realizado antes dichos eventos. En los mil ochocientos los estadisticos ingleses buscaban encontrar un fundamento teorico para calcular el riesgo de las perdidad de los seguros de vida y en los seguros comerciales y cmo primer paso definierón la probabilidad de datos estadisticos referentes a los nacimientos o muertes, esto se conoce hoy en dia como "FRECUENCIA RELATIVA DE OCURRENCIA" y define a la probabilidad de 2 formas:

*La fecuencia relativa observada de un elemento en un gran número de ensayo.
*Como la proporción de las bases que un evento sucede a la larga cuando las condiciones son estables.

**EJEMPLO: Supongamos que una compañia de seguros sabe por sus datos actuariales que todos los valores de 40 años de edad, 70 de cada 100 mil moririan al cabo de 1 año. Aplicando este método la compañia determina la probabilidad de fallecimiento de ese grupo de datos en los siguiente terminos.

60/100,000
= .0006

Una segunda caracteristica se las probabilidades establecidas por la frecuencia relativa de ocurrencia puede demostrarse arrojando una moneda legal 300 veces, pese a la proporción de que cualquiera de los datos en los primeros 100 lanzamientos, las veces en que a caido el evento sol esta lejos de esa proporción, sin embargo a medida que seguimos lanzando la moneda la frecuencia relativa se va acercando a su probabilidad de .5

Cuando se utiliza la frecuencia relativa para establecer las probabilidades la cifra de estas sera mas exacta a medida que se aumentan el número de observaciones o experimentos. Cabe destacar que este mejoramiento en exactitud de los resultados tiene un precio el cual n o siempre resulta rentable para las personas que realizan las estadisticas o bien para quien hace uso de estas.

Una dificultad de este enfoque consiste en que a menudo se utiliza en número suficiente de experimentos.

Tipos Probabilidad

Se distinguen tres formas de clasificar:

*ENFOQUE CLÁSICO
*ENFOQUE FREC. RELATIVA
*ENFOQUE SUBJETIVO

"PROBABILIDAD CLASICA": 1 evento ocurra dividiendo el número de resultados donde ocurre el evento entre el número de posibles resultados.

*es decir: si retomamos nuestro ejemplo del experimento de la moneda en un lanzamiento, el resultado de dicho lanzamiento es 1 entre la cantidad de posibilidades (Seria 2)

"PROBABILIDAD A PRIORI" La probabilidad clásica a menudo recibe el nombre de P. a priori, por que si estamos usando ejemplos ordenados como 2 monedas, dados, nairas, podemos anticipar un resultado sin necesidad de hacer el experimento ya que podemos hacer la probabilidad que sucedan 2 eventos.

Una de las limitaciones que contiene este enfoque clásico es que es útil para situaciones controladas y podria resultar con graves problemas si se quisiera utilizar en la toma de desiciones con situaciones menos ordenadas que en los ejemplos anteriores.

Supone un mundo que no existe ya que descarga situaciones que son poco probables pero que pueden ocurrir como en el caso de la moneda que caiga de canto.

Supone una especie de simetria que en situaciones reales no existen, por lo tanto la probabilidad clásica puede resultar útil para los juegos de azar mas no para la vida cotidiana.

Probabilidad

Jacob Bernolli,Abraham de Moiure inventarón tecnicas y fórmulas de probabilidad en el siglo XIX, Pierre Simón y Marquis de Laplace modificarón y formularón la primera ley de probabilidad.

La 1era teoría fue aplicada a las mesas de juego, tiempo después observó que eran aplicables a otras ramas de las ciencias.

La probabilidad forma parte de la vida diaria se aplica a la toma de decisiones, anivel personal como en las altas esferas de los sectores industriales y públicos.

Dado que el mundo en que vivimos resulta practicamente posible diagnosticar el futuro es necesario sortear la incertidumbre sirviéndonos entonces de las teoria de aplicación de la probabilidad.

Definamos a la probabilidad como: "LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA ALGO", y la que se puede expresar a través de fracciones o bien de decimalesdonde O nos indica que un suceso nunca ocurrirá y uno que este siempre sucederá.

*EVENTO: Es 1 o varios resultados posibles que se consiguen al hacer 1 cosa.
*EXPERIMENTO: Se le llama a la actividad que produce un evento.
*ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

Para poder entender los 3 anteriores pongamos "El caso de la moneda legal".

Si esta es lanzada el hecho de que salga ÁGUILA o SOL se va a considerar evento a cada una de estas 2 opciones es decir hay 2 eventos posibles. Si lanzamos la moneda entonces sera experimento con una probabilidad de .5 que suceda (ÁGUILA) y .5 que suceda (SOL), ahora bien el espacio muestral resulta ser el evento ÁGUILA/SOL

*EVENTO
Evento A (Águila)
EVENTO b (Sol)

*EXPERIMENTO
Evento A 1/2 .5
Evento B 1/2 .5

*ESPACIO MUESTRAL
S={EVENTO A, EVENTO B}


Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno y solo uno de ellos tiene lugar a la vez.

Regresemos al evento de la moneda en donde tenemos 2 resultados posibles: ÁGUILA/SOL y sabemos que no pueden caer al mismo tiempo los 2, a esto lo llamamos los 2 mutuamente excluyentes.

Se habla de evento colectivamente exhaustivos cuando una lista de los eventos que pueden resultar de un experimento incluye todos los resultados posibles por ejemplo, en el caso de nuestra moneda la lista incluye lado A o evento A y evento B o lado B. Estos son colectivamente exhaustivos teniendo como excepción que la moneda caiga de CANTO.

Ejercicio 7

Un profesor a decidido un promedio ponderado al calcular las calificaciones finales de sus estudiantes asistentes al seminario de redes.

El peso dado a cada una de sus actividades es el siguiente:

Tareas hechas en casa 20%
Exámen parcial 25%
Exámen trimestral 10%
Problemario 10%
Exámen final 35%

Las calificaciones obtenidas fueron:


Alumnos:

ERICK;8.5,8.7,9.4,8.9.9.O
TANIA;7.8,9.1,8.8,8.4,9.2
ADRIAN;9.4,8.6,9.3,8.8,8.9
BEATRIZ A.;8.2,8.4,8.8,7.9,9.3
ALEXANDER;9.5,8.2,9.2,9.0,8.8

martes, 5 de enero de 2010

Ejercicio 6

El vicepresidente de comida de preparación rápida esta estudiando las ventas de 100 locales de la zona oriente y la información recabada es la siguiente:




"MEDIA DATOS AGRUPADOS"

/X= 124950/100
/X= 1249.5

"MEDIANA DATOS AGRUPADOS"

M= 1250

"MODA DATOS AGRUPADOS"

MO= 1200+ [5/5+4]*100
MO= 1255.5

S2=67474.74
S =259.75


Moda X Método Gráfico

"MEDIA DATOS AGRUPADOS"



/X= (F.X)/N
/X=406.5+279+574+737.5+151.5/15
/X= 143.23

"MEDIANA DATOS AGRUPADOS"



M= (N+1)/2 - (F+1) / F.M +CLASE MODAL (LI)
M= [8-6]/5 .4 +1.46= 146.16
N+1/2= 8
FM= 5
F+1= 6
W= 4


"MODA EN DATOS AGRUPADOS"

MO=LIM + [A1/A1+A2]

A1=4-2= 2
A2=4-5= -1

MO= 146+ [2/2-1 *4]= (2)(4)= 8+142
MO== 146.8

Ejercico 5

Un psicologo escribió un programa de computadora para simular la forma en que una persona llena un test estandar del coeficiente intelectual. Para probar el programa introdujo en la computadora 15 formas de un test del coeficiente intelectual, muy conocido y calculó el coeficiente en cada formula; los valores obtenidos son los siguientes:

134,143,146,136,144,146,137,144,147,138,145,148,138,146,153

*ACOMODO DE DATOS

134,136,137,138,138,143,144,144,145,146,146,146,147,148,153

*RANGO: 19
*MEDIA: 143
*MODA: 146
*MEDIANA: 144



*VARIANZA= 390/14= 27.85
*POBLACIÓN= 390/15= 26
*DESVIACIÓN ESTANDAR= raiz cuadrada de 27.85= 5.27










Clase Modal (Gráfica)

Medidas Curtosis

Es decir la curtosis de una distribución es la medida que se hace del grado de pico.

La curvas tienen un mismo rango o intervalo, es decir podemos decir que tienen la misma dispersión, ambas son simétricas, sin embargo no tienen el mismo grado de curtosis.

Las estadisticas utilizan generalmente 3 clases generales mesocurticas, lectocurticas, y platicurticas.

La palabra MESOCURTICA proviene del griego MESO= mitad y la palabra LECTOCURTICA el gramema lecto de origen griego= esbelto y por su parte la palabra PLATICURTICA se compone de platos, también palabra de origen griego cuyo significado es ancho o pleno.

Cuando nos referimos a las medidas de dispersión observaremos que lo que estas generalmente indican una es la distancia entre el primer valor y el último observado, sin embargo cuando observamos la curtosis esta nos indica hacia donde se encuentran ubicados los valores que la tendencia central o la frecuencia con la que dichos valores se repiten. En una mesocurtosis observamos que las frecuencias pueden ser simétricas, es decir que hay datos que se repiten con mayor frecuencia pero que los datos extremos su disminución es gradual y equitativa.

No así cuando observamos una curva platicurtica es indicativo de que la frecuencia entre todos los datos es muy similar.

*NOTA: No quiere decir que las curvas tengan que ser precisamente simétricas podremos encontrar los 3 tipos de curtosis en curvas asimétricas.





Medidas Disperción

La disperción se refiere al esparcimiento de los datos, es decir al grado de disperción de las operaciones (observaciones) entre las medidas mas utilizadas tenemos al rango y al intervalo que es la distancia que existe entre el punto de datos mas bajo y el mas alto


Una medida que si bien es utilizada se hace referencia pocas veces es la relacionada con la forma de nuestra curva, a esta medida se le conoce como DESESGO o ASIMETRICA.

Las curvas que representan las observaciones de datos en el conjunto de los mismos pueden ser simetricas son aquellas tales que una línea vertical trazada desde la cumbre de la curva hasta el eje horizontal en 2 partes iguales dividira el área de la curva. Cada parte es espejo de la otra.







Ejercicio 4

Acomodo De Datos Ascendente "Edades 2301"

ALBERTO 18
ALEXANDER 18
ANA 18
CARLOS 18
MAGALI 18
ADRIAN 19
BEATRIZ A. 19
CARMEN 19
CARLOS I 19
ELIZABETH 19
IRIS 19
LEONEL 19
LIZBETH 19
MARCOS 19
SARAI 19
TANIA 19
TERE 19
WENDY 19
ABRAHAM 20
ANA LUISA 20
BETY 20
DANIEL 20
ERICK 20
FERNANDO 20
HORACIO 20
JESUS 20
KAREN 20
MAURICIO 20
PAMELA 20
EDGAR II 21
EDUARDO 21
JESSICA 21
AMERICA 21
ARMANDO 22
EDGAR I 22
AARON 23
ENRIQUE 24
EVELYN 24

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL:

*MODA 19
*MEDIA 19.92
*MEDIANA 20
*RANGO 18-24





*MUESTRA: 38-1=37
*VARIANZA: 87.43/37 = 2.36
*DESVIACIÓN ESTANDAR: raiz cuadrada de 2.36 = 1.53
*POBLACIÓN: 87.43/38= 2.30
*MUESTRA: 87.43/37= 2.36






Varianza-Desviación Estandar

Para determinar la varianza vamos a restar a cada uno de los elementos, es decir los datos observados, mi media aritmetica, la diferencia la vamos a multiplicar por si misma y despues sumaremos el resultado dividiendo:

a)Si hablamos de población entre el número de población.
b)Si hablamos de muestra entre el número de mi muestra,menos uno.



*MUESTRA= 20-1=19

18.095/19= 0.95

*VARIANZA= 0.95

*DESVIACIÓN ESTANDAR= raiz cuadrada de 0.95
=0.97

Ejercicio 3-Solución








Arreglo de datos

2.0
3.4
3.8
3.8
4
4.1
4.1
4.1
4.2
4.3
4.7
4.7
4.8
4.9
4.9
5.5
5.5
5.5
5.5


*MODA:5.5
*MEDIA:4.36
*MEDIANA:4.25